[통계 개념] 7-5강 - 모집단이 2개인 경우 통계량 차에 대한 구간 추정 (신뢰 구간)

모집단이 1개인 경우만 지금까지 배웠고

모집단이 2개인 경우를 이번에 다룰 것입니다.

 

7. 모집단이 2개인 경우 구간 추정

0) 모집단이 2개인 경우

1> 첫 번째 모집단으로부터 뽑은 확률 표본 X_1, X_2, ... / 두 번째 모집단으로부터 뽑은 확률 표본 Y_1, Y_2, ...

2> 2가지 경우가 있다.

- [1] 처음부터 나뉘어진 두 집단을 비교할 수 있고 (확실히 독립이다.)

- [2] 동일 집단을 시간차에 따라 비교할 수 있다. (독립이 아니다.)

3> 기본 가정이 'X_1 ~ X_m, Y_1 ~ Y_n가 서로 독립'이다. 

- 확률 표본의 정의에 의해 X_1 ~ X_m은 iid (서로 독립이고 같은 분포에서 추출), Y_1 ~ Y_n은 iid

- 그러면 X와 Y를 섞어서도 독립이어야 한다.

- [1]번 예시만 해당한다.

 

 

1) 두 모평균 차의 신뢰 구간

0> 총 3가지 경우가 있다.

- σ_1^2, σ_2^2을 아는 경우 (정규 분포 사용)

- σ_1^2, σ_2^2을 모름 & σ_1^2 == σ_2^2

- σ_1^2, σ_2^2을 모름 & σ_1^2 != σ_2^2

 

1> 각각의 모분산을 아는 경우

- 분포와 상관 없이 n만 충분히 크다면 표본 평균은 정규 분포를 따른다.

- 각 표본 평균이 정규 분포를 따르기 때문에 표본 평균의 차 또한 정규 분포를 따른다.

- 이를 표준화하면 Z가 위와 같은 꼴을 가진다.

- 두 집단의 모평균 차에 대한 신뢰 구간을 구할 수 있다.

※ 분산(σ)을 아는 경우가 드물기 때문에 이 경우는 잘 쓰이지 않는다.

 

cf> 뒤의 2번째 경우에서 달라지는 점

1) 두 모집단이 정규 분포를 따른다. (정규성 가정을 했다.)

2) 두 집단의 분산(σ)이 같다.

 

 

2> 각각의 모분산을 모르고 같은 경우

t-분포는 표준 정규 분포와 카이-제곱 분포를 가져와야 했다.

그래서 카이-제곱 분포 1개와 표준 정규 분포 1개를 만든다.

- 각 분포로부터 카이-제곱 분포를 만들 수 있다.

- 그리고 독립된 표준 정규 분포들의 제곱의 합 -> 더하면 여전히 카이-제곱 분포이다.

- 이 때, 모분산(σ)이 같았기 때문에 계산을 깔끔하게 할 수 있다.

- 각각의 표본 평균이 정규분포를 가지니까 이들의 차를 표준화 한 것은 표준 정규 분포를 가진다.

(표본 평균의 분산은 각각의 표본 평균의 분산을 더한 것이 된다. 

 

- 그러면 기존 표준 정규 분포 변수의 분모인 모분산 부분을 표본 분산으로 대체한다.

(이 표본 분산 자리에 '표본합동분산' 개념을 사용한다.)

- 이처럼 t-분포를 만들 수 있다.

 

 

cf> 표본합동분산

1) 모분산에 대한 불편추정량이다.

2) s_2^2은 σ_2^2의 불편 추정량, s_1^2은 σ_1^2의 불편 추정량

3) 하지만 이들이 같은 상황이므로 이들의 가중 평균으로 분산을 계산한다.

 

3> 각각의 모분산을 모르고 다른 경우

 

 

 

2) 두 모분산 비의 신뢰구간

1> 조건

- 모두 정규 분포에서 추출된 확률 표본(X_1~X_m, Y_1~Y_n)이다.

- X_1, ..., X_m, Y_1, ..., Y_n은 서로 독립

 

2> 신뢰 구간