[통계 개념&SAS] 8-3강 - 가설 검정 (독립인 모집단이 2개인 경우)

이표본에 대한 접근은 총 3가지였습니다. 

1> 각각의 모분산을 아는 경우 (σ1, σ2 안다.)

2> 각각의 모분산을 모르는 경우 - 모분산이 같은 경우 (σ1, σ2 모름 + σ1=σ2)

3> 각각의 모분산을 모르는 경우 - 모분산이 다른 경우 (σ1, σ2 모름 + σ1≠σ2)

 

1>번 case는 거의 다루지 않는다.

그리고 2>와 3>은 구분할 필요가 있다.

cf> 하지만 사실 모분산이 같은지를 먼저 알 수 없다.

그러므로 모분산이 같은지에 대해 먼저 검정해야 한다.

1> 7-5강 참조 : https://intelligentcm.tistory.com/142

2> 이어지는 6. 두 모분산 비의 검정 참조 

 

 

5. 정규 분포에 관한 여러 검정 - 모집단이 2개인 경우

모분산 비에 대한 검정을 먼저 하고서 이 검정(모평균 차에 대한 검정)을 진행할 수 있다.

1) 각각의 모분산을 모름 + 모분산이 같은 경우

1> 조건

- 모두 정규 분포에서 추출된 확률 표본(X_1~X_m, Y_1~Y_n)이다.

- X_1, ..., X_m, Y_1, ..., Y_n은 서로 독립

2> T분포 만들기

3> 검정

SAS 결과 [1] t-value = t0 [2] 'pr > |p|' = p0를 구한 이후

- 우측 검정

t0 > 0 → 유의 확률 = p0/2

t0 < 0 → 유의 확률 = 1 - p0/2

- 좌측 검정

t0 > 0 → 유의 확률 = 1 - p0/2

t0 < 0 → 유의 확률 = p0/2

 

2) 각각의 모분산을 모름 + 모분산이 다른 경우

1> 조건

- 모두 정규 분포에서 추출된 확률 표본(X_1~X_m, Y_1~Y_n)이다.

- X_1, ..., X_m, Y_1, ..., Y_n은 서로 독립

cf> 표본합동분산

1) 모분산에 대한 불편추정량이다.

2) s_2^2은 σ_2^2의 불편 추정량, s_1^2은 σ_1^2의 불편 추정량

3) 하지만 이들이 같은 상황이므로 이들의 가중 평균으로 분산을 계산한다.

 

2> T분포 만들기

3> 검정

- 우측 검정

t0 > 0 → 유의 확률 = p0/2

t0 < 0 → 유의 확률 = 1 - p0/2

- 좌측 검정

t0 > 0 → 유의 확률 = 1 - p0/2

t0 < 0 → 유의 확률 = p0/2

 

 

cf> 하지만 사실 모분산이 같은지를 먼저 알 수 없다.

그러므로 모분산이 같은지에 대해 먼저 검정해야 한다.

1> 7-5강 참조 : https://intelligentcm.tistory.com/142

2> 이어지는 6. 두 모분산 비의 검정 참조 

 

 

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6. 두 모분산 비의 검정

1) 두 모분산 비의 검정

1> 조건 

- 모두 정규 분포에서 추출된 확률 표본(X_1~X_m, Y_1~Y_n)이다.

- X_1, ..., X_m, Y_1, ..., Y_n은 서로 독립

2> 가설

귀무가설 H0 : σ1/σ2 = 1

대립가설 H0 : σ1/σ2 ≠ 1

3> 검정 통계량

F0 = S1^2/S2^2

4> 검정

- SAS에서는 우측 검정의 유의 확률을 계산한다.

5> 우측 검정의 유의 확률을 이용하여 양측 검정의 유의 확률 계산

먼저 검정통계량(F0)이 어느 쪽으로 치우친지 알아야 한다.

=> 우측 검정의 유의 확률로 판단 (유의 확률이 0.5보다 작은가? => 오른쪽에 치우쳐져 있다.) 

[우측 검정의 유의 확률 p0 < 0.5인 경우] = [F0가 오른쪽에 치우친 경우]

- 양측 검정의 유의 확률  = 2*p0

[우측 검정의 유의 확률 p0 < 0.5인 경우] = [F0가 왼쪽에 치우친 경우]

- 양측 검정의 유의 확률  = 2*(1-p0)

6> 그래서 양측 검정이 

- 기각된 경우 => σ1≠σ2 => '2) 각각의 모분산을 모름 + 모분산이 다른 경우' 검정

- 기각할 수 없는 경우 => σ1==σ2 => '1) 각각의 모분산을 모름 + 모분산이 같은 경우' 검정

 

 

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7. 두 모집단에 대한 검정 실습

1) 독립 표본에 의한 두 모평균의 비교 - 독립 표본 t-검정

1> PROC TTEST

- 모분산 비에 대한 검정과정도 포함되어 있어서 따로 할 필요가 없습니다.

- PROC TTEST data=SAS-dataset;
- class variable_group : 모집단을 분류하는 variable 선정
- var variable_score : 각 모집단의 값을 의미하는 variable 선정

 

2> 예시

DATA edu;
	INPUT group score @@;
	CARDS;
1 65 1 70 1 76 1 63 1 72 1 71 1 68 1 68
2 75 2 80 2 72 2 77 2 69 2 81 2 71 2 78
; 
RUN;
proc ttest data= edu ;
class group;
var score;
run;

- Equality of Variances : 모분산 비에 대한 검정

우측 검정 유의 확률 = 0.8624 = p0

→ 0.5보다 크므로 검정통계량(F0)가 왼쪽으로 치우침

→ 양측 검정 유의 확률 = 2*(1-p0) = 2*0.1376 = 0.2752

→ 어떠한 유의 수준으로도 기각할 수 없다.

→ 모분산이 같다는 검정 결과를 얻을 수 있다.

→ '5.1) 각각의 모분산을 모름 + 모분산이 같은 경우'을 진행한다.

→ 3번째 box에서 'Variances=Equal'로 진행

 

- 3번째 box에서 t-value와 Pr >|t|를 이용해서 검정한다.

양측 검정 유의 확률 = 0.0105 = p0

→ t-Value(t0) < 0

→ t-Value(t0)가 왼쪽으로 치우친 상황

→

우측 검정 유의 확률 = 1-p0/2 = 0.99...

좌측 검정 유의 확률 = p0/2 = 0.005...

- 정규성 가정이 있어야 TTEST를 할 수 있다. 그래서 이와 같은 그림을 자동으로 그려주고 정규성을 확인한다.