[통계 개념] 7-1강 - 표본들의 분포 - 카이-제곱 분포, t-분포, F-분포

모수가 달라짐(평균, 분산, 모비율)에 따라 

추정(점추정, 구간추정=신뢰구간)을 할 수 있어야한다.

 

1. 분포 (Sampling Distributions)

1) 카이-제곱 분포 (Chi-Square Distibution)

1> 정의 

- X ~ Ga(k/2, 1/2)  (Ga는 감마 분포를 지칭)

- 자유도가 k인 카이-제곱 분포

- X ~ χ2(k)

(전 구간에서 정의되어있다.)

(chi-square distribution에서는 자유도에 따라 x의 지수는 바뀌지만 e의 지수는 (-1/2)*x로 일정하다.)

 

cf> point : 왜 chi-square 분포을 배우는가?

표본들을 가져오면 chi-square 분포를 만들 수 있다.

 

2> Theorem

(iid여도 가능하고

각각 분포가 달라도 각각 독립인 정규분포이면 성립)

- 의미 : 독립인 표준 정규분포들 k개의 합이 자유도 k인 chi-square 분포를 가진다.

 

2) t-분포 (Student t-Distribution)

1> 정의

- X ~ t(k)

- 자유도가 k인 t-분포

(전구간에서 정리되어있다.)

 

2> Theorem

- 분자 : 표준 정규 분포

- 분모 : 카이-제곱 분포를 자유도(n)로 나누고 루트 씌운 것

- 이 두 분포는 독립이다.

- 이 분수는 자유도가 n인 t-분포를 따른다.

 

3) F-분포 (F-distribution)

- X ~ F(m, n)

- 자유도가 m, n인 F-분포

(전 구간에서 정의되어있다.)

 

2> Theorem

- 분자 : 카이-제곱 분포를 자유도(m)로 나눈 것

- 분모 : 카이-제곱 분포를 자유도(n)로 나눈 것

- 이 두 분포는 독립이다.

- 이 분수는 자유도가 m, n인 F-분포를 따른다.